1 问题的提出
所谓关系映射反演原则，是指一种分析处理问题的普遍方法或准则。我们把关系(relationship)映射(mapping)反演(inversion)原则简称为RMI原则。在此先对这一原则概略说明如下：令R表示一组原象的关系结构(或原象系统)，其中包含着待确定的原象x。令M表示一种映射(一一对应法则)，通过它的作用假定原象结构系统R被映成映像关系结构R*，其中自然包含着未知原象x的映像x*。如果有办法把x*确定下来，则通过反演即逆映射I=M-1也就相应地把x确定下来。这便是RMI工作原则的基本内容，可用图1表示如下。
在数学、工程技术或应用科学部门中，都往往利用这一原则去解决问题。通常总是选择最合适的映射M，使得待定原象x(即具体问题中的目标对象)的映像x*较容易地确定下来，从而通过反演也就较容易地把目标对象x寻找出来。由于许多问题里的x往往是不容易确定的，因此上述工作原则也就非常有用。
映射和反演可以赋予很广泛的含义，因此RMI原则实际可以理解为一种包罗万象的科学方法论原则。例如，概念是事物对象或事物关系在人脑中的反映。我们不妨把概念的形成过程看成是通过人脑机制活动完成的映射。于是概念便是事物原象(对象及关系)的映像。利用概念思维(包括逻辑分析推理)得出的结论，返回到事物原型上去解决问题，这可以理解为一种反演过程。这样看来，一般情况下通过人脑概念思维去解决实际问题的全过程，在一定条件下也可以看作是RMI原则的应用。
在上述例子中，R、R*、M、…等可赋予下述含义：
R——包含着实际问题的事物关系系统；
R*——包含着理论问题的概念关系系统；
M——从事物关系到概念关系的形成过程；
I=M-1——从概念返回实际事物的逆过程；
x*——实际问题中的未知目标x的映像。
这里运用RMI原则的目的是要把实际问题中的某个待求的结论确定下来。
以上所论是假定未知结论(或未知原象)x可以从R关系结构中确定下来。但直接确定x较为困难，因此不得不拐一个弯，通过R*找出x*后再由x*反转到x。当然，这里用到的映射M与反演I必须是切实可行的，否则仍无济于事。
2 数学中的RMI原则
映射(或变换)。凡是在两类数学对象或两个数学集合的元素之间建立了一种“对应关系”，就定义了一个映射。特别，如果是一一对应关系，则称为可逆映射。例如，代数中的线性变换，几何中的射影变换，分析学中的变数代换、函数变换、数列变换、积分变换，以及拓扑学中的拓扑变换等都是映射的概念。
假设φ是一个映射，它把集合S={a}中的元素映入(或映满)另一集合S*={a* }，其中a*表示a的映像，a称为原象，这时可记
φ：S→S*，φ(α)=α*
如果S还是一个关系结构，φ能将S映满S*，则可记S*=φ(S)，并称S*为映像关系结构。
特别，假如关系结构S中包含一个未知性状的对象x，它是我们问题中需要确定其性状的目标，则称x为目标原象，在映射φ作用下，x*=φ(x)便称为目标映像。
如果目标映像能通过确定的数学方法从映像关系结构系统S*中确定出来(或寻找出来)，称映射方法φ为可定映映射。于是，数学中的RMI原则便可陈述如下：
给定一个含有目标原象x的关系结构系统S。如果能找到一个可定映射 ，将S映入或映满S*，则可从S*通过一定的数学方法把目标映像x*=φ(x)确定出来，从而通过反演即逆映射 便可把 确定出来。这个过程如图2所示。
全过程包括的步骤为：关系一映射一定映一反演一得解。
3 应用举例
下面我们通过例子来说明RMI原则的实际应用。
3.1 幂级数变换。幂级数变换对于寻找或确定一个数列来说，通常又把它叫做“发生函数”。这是在近代组合数学及概率统计学中应用很广泛的一种映射方法。
方法的大意是：为了研究一个数列，例如{αn}：α0，α1，α2，L，αn，L的结构，我们利用一个形式幂级数α0+α1t+α2t2+L+αntn+L与{αn}对应起来。这样就把一个离散性的数列对象换成了一个在分析学上便于处理的解析对象。正因为在分析学中对于幂级数运算已有一套固定的方法，所以在上述对应(映射)下，作为幂级数系数的数列{an}的结构问题也就便于通过幂级数运算去分析研究了。
例1 试按照RMI原则求解差分方程。
所谓解差分方程就是数列间的“递推关系”。差分方程就是要求根据递推关系及初始条件去确定整个数列{fn}的构造形式，也即要求得出fn的一般表达式。为此，可引入如下形式的映射(幂级数变换)：
这就是组合数学中著名的范德蒙(Vandermonde)定理。
从本例我们已经看到幂级数变换在解差分方程时的作用。其实差分方程只不过是微分方程的离散化形式而已。
参考文献
[1] 马忠林.《数学方法论》 广西教育出版社2001.11
[2] 肖柏荣.《数学思维与数学方法论》 四川教育出版社2005.6
[3] 郑毓信.《数学方法论》广西教育出版社2007.2
收稿日期：2007-11-05
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”